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浙江省台州中学高三数学上学期第三次统练测试题 文.doc

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台州中学第一学期统练三试题高三 数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.

? ? 1.已知集合 M ? ?x | x ?1?, N ? x | 2x ?1 ,则 M N = ( )

A. ?

B. ?x | x ? 0?

C.?x | x ?1?

D.?x | 0 ? x ?1?

2. i 是虚数单位,则复数 i 的虚部是( 1? i

A.1

B. ?1

3.下列命题为真命题的是 ( )


C. 1 2

D. ? 1 2

A. a ? b ? 0 是 a2 ? b2 的充分条件 C. a ? b 是 1 ? 1 的必要条件
ab

B. a ? b 是 1 ? 1 的充分条件 ab
D. a ? b 是 a2 ? b2 的充要条件

4.若定义在 R 上的偶函数 f (x) 在 (??, 0] 上单调递减,且 f (?1) ? 0 ,则不等式 f (x) ? 0 的解集是

()

A. (??, ?1) ? (1, ? ?) B. (??, ?1) ? (0, 1) C. (?1, 0) ? (0, 1) D. (?1, 0) ? (1, ? ?)

5. 函数 f (x) ?| x ? 2 | ? ln x 在定义域内零点的个数 ( )

A.0

B.1

C.2

D.3

6.设 m 、 n 是两条不同的直线,? 、 ? 是两个不同的*面,

则下列命题中正确的是( )

A.若 m ∥ n , m ∥? ,则 n ∥?

B.若? ⊥ ? , m ∥? ,则 m ⊥ ?

C.若? ⊥ ? , m ⊥ ? ,则 m ∥?

D.若 m ⊥ n , m ⊥? , n ⊥ ? ,则? ⊥ ?

7. 阅读如图所示的程序框图,若输出的 S 是 126,则①应为 (



A. n ? 5? B. n ? 6? C. n ? 7? D. n ? 8?

8.已知凸函数的性质定理:“若函数 f (x) 在区间 D 上是凸函数,则对于区间 D 内的任意 x1, x2 ,?, xn ,

有:1 n

[

f

(

x1

)

?

f (x2 ) ???

f (xn )] ?

f ( x1

? x2

??? n

xn ) ”.若函数 y

? sin x 在区间 (0, ? ) 上是凸

函数,则在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? sinC 的最大值是( )

A. 1 2

B. 3 2

C. 3 3 2

D. 3 2

9.

已知双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0, b ? 0) ,M , N 是双曲线上关于原点对称的两点, P 是双曲线上的动

点,且直线 PM, PN 的斜率分别为 k1, k2 , k1k2 ? 0 ,若 k1 ? k2 的最小值为 1,则双曲线的离心率为
()

A. 2

B. 5 2

C. 3 2

D. 3 2

10.设 f (x) 与 g(x) 是定义在同一区间[a, b] 上的两个函数,若对任意 x ?[a, b] ,都有| f (x) ? g(x) |? 1

成 立 , 则 称 f (x) 和 g(x) 在 [a, b] 上 是 “ 亲 密 函 数 ” , 区 间 [a, b] 称 为 “ 亲 密 区 间 ” . 若

f (x) ? x2 ? x ? 2 与 g(x) ? 2x ? 1在[a, b] 上是“亲密函数”,则其“亲密区间”可以是( )

A.[0, 2]

B.[0, 1]

C.[1, 2]

D.[?1, 0]

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分.

11.函数 y ? cosax (a ? 0) 的最小正周期为? ,则实数 a ? _______.

12.已知曲线 y ? 1 x3 ? 4 ,则曲线在点 P(2, 4) 处的切线方程为



33

13.一个骰子连续投两次,则两次投出点数之和为 5 的概率是 .

14.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为 2 的正方形,主视图与左视图

是边长为 2 的正三角形,则其全面积是__________ .

2

?x ? y ? 2

15.

若实数

x,y

满足不等式组

? ?

??

x?2 y?2

,则 y ?1 的最大值是 x ?1

. 第 14 题图

16.如图,在△ABC 中, AN = 1 NC ,P 是 BN 上的一点,若 AP ? m AB ? 2 AC ,则实数的值为

3

11

___________.

17.有下列数组成一排:

??1??,?? 2 ,1 ??,?? 3,2 ,1 ??,?? 4 ,3 ,2 ,1 ?? , ?? 5,4 ,3,2 ,1 ?? ,…… ?1? ? 1 2? ?1 2 3? ? 1 2 3 4? ?1 2 3 4 5?
如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列:
1 , 2,1 , 3,2 ,1 , 4,3,2 ,1 , 5,4,3,2,1 ,……则此数列中的项是 1 12 123 1234 12345

第 16 题图 .

班级_______________姓名_______________号次________考试号_____________ …*……………………装………………………订………………… 线 ……………………………

台州中学第一学期统练三答题卷 高三 数学(文科)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分.

11.

12.

13.

14.

15

16.

17.

三、解答题:本大题共 5 小题,满分 72 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
? ? 18. (本题满分 14 分)已知:A、B、C 是 ?ABC的内角,a,b, c 分别是其对边长,向量 m ? 3,cos A ?1 ,
n ? ?sin A,?1?,且 m ? n .

(1)求角 A 的大小;(2)若 a ? 2, cos B ? 3 , 求 b 的长. 3

19.(本题满分 14 分)已知在等比数列{an } 中, a1 ? 1,且 a2 是 a1 和 a3 ? 1的等差中项. (1)求数列{an } 的通项公式; (2)若数列{bn }满足 bn ? 2n ? 1 ? an (n ? N * ) ,求{bn } 的前 n 项和 Sn .
(本题满分 14 分)右图为一简单组合体,其底面 ABCD为正方形, PD ?*面 ABCD, EC // PD, 且 PD ? AD ? 2EC ? 2
(1)求证: BE // *面 PDA;(2)求 PA与*面 PBD所成角的大小.

21.(本题满分 15 分)设函数 f (x) ? 2 x3 ? 1 ax2 ? x, a ? R . 32
(1)当 x ? 2 时, f (x) 取得极值,求 a 的值;
(2)若 f (x) 在 (0, ??) 内为增函数,求 a 的取值范围;
(3)设 g(x) ? x ln x ,是否存在正实数 a ,使得对任意 x1, x2 ? (0, 1] ,都有 f (x1) ? g(x2 ) 成立? 若存在,求实数 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

22. (本题满分 15 分)如图所示,已知椭圆 C1 和抛物线 C2 有公共焦点 F(1,0) , C1 的中心和 C2 的顶

点都在坐标原点,过点 M (4,0) 的直线 l 与抛物线 C2 分别相交于 A, B 两点

(1)写出抛物线 C2 的标准方程;

(2)若 AM ? 1 MB ,求直线 l 的方程; 2

(3)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C2 上,直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求椭圆 C1 的长轴

长的最小值.

y

B

OF M

x

AP

台州中学-第一学期统练三答案 高三 数学(文科)

一、DCAAC DBCBB

二、11.2 三、解答题

12. 4x ? y ? 4 ? 0

13. 1 14.12 9

15.1

16. 3 11

17. 5 59

18.(1)由 m ? n ? 3 sin A ? cos A ?1 ? 0 得 sin( A ? ? ) ? 1 ,又 ? ? ? A ? ? ? 5? ,

62

6

66

则 A ? ? ? ? ,即 A ? ? ................................................7 分

66

3

(2)由 a ? 2, cos B ? 3 ,得 sin B ? 6 , a ? b ,则 b ? 4 2 ...............14 分

3

3 sin A sin B

3

19.(1)∵ a1 ? 1,且 a2 是 a1 和 a3 ? 1的等差中项,∴ 2a2 ? a1 ? (a3 ? 1) ? a3

即 a3 a2

? 2 ,则 an

? a1 ? 2n?1

? 2n?1 .............................................7 分

(2)∵ bn ? 2n ? 1 ? an ,

∴ Sn

? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2n ?1 ? 20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? 1 ? 2n ?1 n ? 1 ? 2n

2

1? 2

? n2 ? 2n ?1

................................................14 分

1)?CE // PD, BC // AD CE ? BC ? C, PD ? AD ? D

?面BCE // 面PAD ? BE ? 面BCE

? BE // 面PAD.................................7 分

(2)连结 AC 交 BD 于 O, PD ? 面ABCD ?PD ? AC

? AC ? BD ? AO ? 面PBD即 ?APO为PA与面PBD所成角.........................12 分

sin ?APO ? 1 ? ?APO ? ? ? PA与*面PBD所成角为? ........................14 分

2

6

6

21.解: f ?(x) ? 2x2 ? ax ?1 ,

(1)由题意:

f

?(2)

?8?

2a

?1 ?

0 ,解得 a

?

?

9 2



经检验, a ? ? 9 符合题意,所以 a 的值为 ? 9 .

2

2

........................ 5 分

(2)要使 f (x) 在 (0, ??) 内为增函数,只需在 (0, ??) 内有 2x2 ? ax ?1 ? 0 恒成立



a

?

?(2x

?

1) x



(0, ??)

内恒成立,

而 ? (2x ? 1 ) ? ?2 2 ,故 a 的取值范围是[?2 2, ? ?) ........................10 分 x

(3)由 g(x) ? x ln x ,得 g?(x) ? ln x ?1 ? 0 , x ? 1 , e

当 x ? (0, 1), g?(x) ? 0 , g(x) 单调递减,当 x ? (1 , 1], g?(x) ? 0 , g(x) 单调递增,

e

e



g ( x) m in

?

g(1) e

?

?

1 e

由 f ?(x) ? 2x2 ? ax ?1 , a ? 0, x ? (0, 1] ,得 f ?(x) ? 0 , f (x) 在 (0, 1] 上单调递增

f (x)max

?

f (1) ?

5? 3

1 a ,由题意得 2

f (x)max

?

g

(x) min

,即

5 3

?

1 a ? ?1 2e

则 a ? ? 2 ? 10 ,由已知 a ? 0 ,故不存在实数 a 满足题意........................15 分 e3
22.(1) y 2 ? 4x ..............................5 分

(2)设

A(

y12 4

,

y1 ),

B(

y22 4

,

y2

)

?
AM

?

1

?
MB

2

(4 ?

y12 4

,? y1 )

?

1 (?4 ? 2

y22 4

,

y2 )

?

y1

?

?

1 2

y2

y2 ? 4x {

? y 2 ? 4my ?16 ? 0

x ? my ? 4

y1 y2 ? ?16
?{y1 ? y2 ? 4m
? 2 y1 ? y2

? m ? 2 ? l : 2x ? 2 y ? 8 ? 0 ..............................10 分 2

(3)设 l

:x

?

my

?

4

,坐标原点

O

关于直线

l

的对称点为

P

(

y

2 0

4

,

? y0

? ?

y02

y0 ) ,则 ? 4

? ?

y02

? ?m ? m y0

?4

?8

2

?m ?1?l : x ? y ? 4

设椭圆方程为 x 2 a2

?

y2 b2

?1

x2 y2

{a2

? b2

?1

消元整理 (2a 2 ?1) y 2 ? 8(a 2 ?1) y ? a 4 ? 17a 2 ?16 ? 0

x? y?4

? ? 0, 得a ? 34 ?长轴长的最小值为 34 ..............................15 分 2




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